Todo operador real tem um invariante de dimensão \(1\) ou \(2\)
Todo operador em \(\R^n\) (\(n\geq1\)) tem um subespaço invariante de dimensão \(1\) ou \(2\). Se \(n\) é ímpar, todo operador em \(\R^n\) tem um autovetor real.
Demonstração
\(p_T\) tem uma raiz complexa (teorema fundamental da álgebra). Se é real, há um autovetor; se não, o teorema dá um plano. Se \(n\) é ímpar, \(p_T\) tem grau ímpar e coeficientes reais, logo tem uma raiz real (valor intermediário: \(p_T(\lambda)\) tem sinais opostos para \(\lambda\to\pm\infty\)).
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\cardtitulo{Todo operador real tem um invariante de dimensão $1$ ou $2$}
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\begin{cartao}
Todo operador em $\R^n$ ($n\geq1$) tem um subespaço
invariante de dimensão $1$ ou $2$. Se $n$ é ímpar, todo operador em $\R^n$ tem um autovetor
real.
\begin{demonstracao}
$p_T$ tem uma raiz complexa (teorema fundamental da álgebra). Se é real, há um autovetor; se
não, o teorema dá um plano. Se $n$ é ímpar, $p_T$ tem grau ímpar e coeficientes reais, logo
tem uma raiz real (valor intermediário: $p_T(\lambda)$ tem sinais opostos para $\lambda\to\pm\infty$).
\end{demonstracao}
\end{cartao}