O ângulo entre \(1\) e \(t^2\)
Em \(\Pol{2}\) com \(\langle p,q\rangle = \int_{-1}^1pq\): \(1\perp t\), porque \(\int_{-1}^1t\,dt = 0\). E o ângulo entre \(1\) e \(t^2\) satisfaz \[\cos\theta = \frac{\int_{-1}^1t^2}{\sqrt{\int_{-1}^11}\sqrt{\int_{-1}^1t^4}} = \frac{2/3}{\sqrt2\,\sqrt{2/5}} = \frac{\sqrt5}{3}\approx0{,}75,\] isto é, \(\theta\approx42^\circ\). Funções têm ângulos entre si, e isso é útil: “\(t^2\) é parecido com \(1\)” ganha um número.
ex-angfun · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{ex-angfun}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{O ângulo entre $1$ e $t^2$}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-angulo, ex-produto-interno-de-funcoes}
\cardrequerdem{}
\cardveja{}
\begin{cartao}
Em $\Pol{2}$ com $\langle p,q\rangle = \int_{-1}^1pq$: $1\perp t$,
porque $\int_{-1}^1t\,dt = 0$. E o ângulo entre $1$ e $t^2$ satisfaz
\[\cos\theta = \frac{\int_{-1}^1t^2}{\sqrt{\int_{-1}^11}\sqrt{\int_{-1}^1t^4}}
= \frac{2/3}{\sqrt2\,\sqrt{2/5}} = \frac{\sqrt5}{3}\approx0{,}75,\]
isto é, $\theta\approx42^\circ$. Funções têm ângulos entre si, e isso é útil: ``$t^2$ é
parecido com $1$'' ganha um número.
\end{cartao}