\([A]\) é o menor subespaço que contém \(A\)
\([A]\) é um subespaço de \(V\) que contém \(A\), e está contido em qualquer subespaço que contenha \(A\). Isto é: \([A]\) é o menor subespaço de \(V\) que contém \(A\).
Demonstração
Subespaço: \(0 = 0\cdot v\) para qualquer \(v\in A\); a soma de duas combinações lineares de elementos de \(A\) é uma combinação linear de elementos de \(A\) (junte as duas listas), e um múltiplo também. Contém \(A\): \(v = 1\cdot v\). É o menor: se \(S\) é subespaço e \(A\subset S\), então, aplicando repetidamente (ii) e (iii), toda combinação linear de elementos de \(A\) está em \(S\).
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\cardtitulo{$[A]$ é o menor subespaço que contém $A$}
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\begin{cartao}
$[A]$ é um subespaço de $V$ que contém $A$, e está
contido em qualquer subespaço que contenha $A$. Isto é: $[A]$ é o menor subespaço de $V$ que
contém $A$.
\begin{demonstracao}
\emph{Subespaço:} $0 = 0\cdot v$ para qualquer $v\in A$; a soma de duas combinações lineares
de elementos de $A$ é uma combinação linear de elementos de $A$ (junte as duas listas), e
um múltiplo também. \emph{Contém $A$:} $v = 1\cdot v$. \emph{É o menor:} se $S$ é subespaço
e $A\subset S$, então, aplicando repetidamente (ii) e (iii), toda combinação linear de
elementos de $A$ está em $S$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}