Os subespaços invariantes de quatro operadores de \(\R^2\)
Em \(\R^2\), os subespaços invariantes triviais são \(\{0\}\) e \(\R^2\); os outros são retas, e uma reta é invariante se e somente se é gerada por um autovetor. Então:
Rotação de \(\theta\in(0,\pi)\): nenhum autovetor real; só os triviais.
Cisalhamento \(T(x,y) = (x+y,y)\): autovetores só no eixo \(x\); os invariantes são \(\{0\}\), o eixo \(x\) e \(\R^2\).
\(T(x,y) = (2x,3y)\): dois autoespaços de dimensão \(1\); os invariantes são \(\{0\}\), os dois eixos e \(\R^2\).
\(T = I\): toda reta é invariante.
Só em (c) e (d) \(\R^2\) é soma direta de duas retas invariantes — e são exatamente os diagonalizáveis.
As retas invariantes nos quatro casos típicos de \(\R^2\). Zero, uma, duas ou infinitas. Os dois últimos são diagonalizáveis; o primeiro falha por falta de autovalores reais, o segundo por falta de autovetores.
Um operador de \(\R^2\) não pode ter exatamente três retas invariantes: se há três, há dois autovetores LI; se os autovalores fossem distintos, um terceiro autovetor teria de estar num dos dois autoespaços; logo os autovalores são iguais e \(T = \lambda I\).
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\cardtitulo{Os subespaços invariantes de quatro operadores de $\R^2$}
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\cardrequer{ex-inv-b, def-diag}
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\begin{cartao}
Em $\R^2$, os subespaços invariantes
triviais são $\{0\}$ e $\R^2$; os outros são retas, e uma reta é invariante se e somente se é
gerada por um autovetor. Então:
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.25em]
\item \emph{Rotação} de $\theta\in(0,\pi)$: nenhum autovetor real; só os triviais.
\item \emph{Cisalhamento} $T(x,y) = (x+y,y)$: autovetores só no eixo $x$; os invariantes são
$\{0\}$, o eixo $x$ e $\R^2$.
\item $T(x,y) = (2x,3y)$: dois autoespaços de dimensão $1$; os invariantes são $\{0\}$, os dois
eixos e $\R^2$.
\item $T = I$: toda reta é invariante.
\end{enumerate}
Só em (c) e (d) $\R^2$ é soma direta de duas retas invariantes --- e são exatamente os
diagonalizáveis.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.4,0); \draw[eixo] (0,-1.3)--(0,1.4);
\draw[->,Frosa,line width=0.9pt] (0.9,0) arc (0:300:0.9);
\node[cx,align=center] at (0,-2.0) {rotação\\ \emph{nenhuma reta}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(3.9,0)}]
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.4,0); \draw[eixo] (0,-1.3)--(0,1.4);
\draw[Fverde,line width=1.5pt] (-1.3,0)--(1.3,0);
\foreach \yy in {-0.8,-0.4,0.4,0.8}{\draw[-{Stealth[length=1.4mm]},Fcinza,line width=0.5pt] (-0.4,\yy)--({-0.4+\yy},\yy);}
\node[cx,align=center] at (0,-2.0) {cisalhamento\\ \emph{uma reta}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(7.8,0)}]
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.4,0); \draw[eixo] (0,-1.3)--(0,1.4);
\draw[Fverde,line width=1.5pt] (-1.3,0)--(1.3,0);
\draw[Flaranja,line width=1.5pt] (0,-1.3)--(0,1.3);
\node[cx,align=center] at (0,-2.0) {$\mathrm{diag}(2,3)$\\ \emph{duas retas}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(11.7,0)}]
\foreach \ang in {0,20,...,160}{\draw[Fazul!70,line width=0.8pt] ({1.3*cos(\ang)},{1.3*sin(\ang)})--({-1.3*cos(\ang)},{-1.3*sin(\ang)});}
\node[cx,align=center] at (0,-2.0) {identidade\\ \emph{todas as retas}};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape As retas invariantes nos quatro casos típicos de $\R^2$. Zero, uma, duas
ou infinitas. Os dois últimos são diagonalizáveis; o primeiro falha por falta de autovalores
reais, o segundo por falta de autovetores.\par}
\noindent Um operador de $\R^2$ não pode ter exatamente três retas invariantes: se há três, há
dois autovetores LI; se os autovalores fossem distintos, um terceiro autovetor teria de estar
num dos dois autoespaços; logo os autovalores são iguais e $T = \lambda I$.
\end{cartao}