11.4 Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra

Na Seção 11.1, mencionamos que partições mais finas que outras codificam uma situação em que se tem acesso a mais informação. Pensamos em “informação” como a coleção de eventos cuja ocorrência é acessível a um determinado observador. A forma mais geral de representar informação, quando se tem acesso a infinitos eventos, é através de uma $\sigma$ -álgebra. Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $X$ uma variável aleatória e $\mathcal{G}$ uma $\sigma$ -álgebra mais grosseira que $\mathcal{F}$ , isto é, $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Não há motivo algum para que $X$ seja também mensurável com respeito à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ . Em outras palavras, não há motivo para que a informação codificada por $\mathcal{G}$ , que é mais grosseira que $\mathcal{F}$ , seja suficiente para determinar o valor de $X$ . Uma pergunta natural surge: qual seria a melhor variável aleatória $\mathcal{G}$ -mensurável que poderia aproximar $X$ em algum sentido? Reformulando a pergunta: qual a melhor aproximação para $X$ quando temos acesso à informação codificada por $\mathcal{G}$ ? Nesta seção, daremos esta resposta. Trata-se de um conceito bastante abstrato, porém dos mais úteis e importantes em Probabilidade.

Teorema 11.39 (Esperança condicional dada uma

\sigma

-álgebra).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $X$ uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa, e $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra. Então, existe uma variável aleatória estendida $Z$ que é $\mathcal{G}$ -mensurável e satisfaz

(11.40) (11.40)

\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}\quad\text{ % para todo }A\in\mathcal{G}.

Dizemos que uma variável aleatória estendida com essas duas propriedades é uma esperança condicional de $X$ dado $\mathcal{G}$ , e a denotamos por $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ .

A prova será dada na próxima seção.

Observação 11.41.

A esperança condicional é única no seguinte sentido. Se $Z$ e $W$ são duas esperanças condicionais de $X$ dado $\mathcal{G}$ , então, pela Proposição 5.78, $Z=W$ q.c. Como a condição (11.40) é insensível ao que acontece em conjuntos de medida nula, somente podemos esperar unicidade nesse sentido. Por isso, toda afirmação a respeito de $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ virá com um quantificador de que vale quase certamente. ∎

Observação 11.42.

Se $X$ é integrável, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ também é integrável e podemos supor que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ é uma variável aleatória real (não assume valores infinitos). Se $X$ é não-negativa, pelo Exercício 5.65 podemos assumir que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ assume valores em $[0,+\infty]$ . ∎

Tomando $A=\Omega$ em (11.40), obtemos a propriedade da esperança iterada:

\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]]=\mathbb{E}X.

Outra propriedade da esperança condicional é que, se $X$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=X$ q.c.

Uma vantagem da definição de esperança condicional de uma variável aleatória estendida $X$ dada uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ é a sua generalidade, pois, como dissemos acima, $\sigma$ -álgebras são a ferramenta ideal para codificar informação. Com efeito, os objetos definidos nas duas seções anteriores são casos particulares da definição abaixo, como será justificado na Seção 11.6. A esperança condicional dada uma partição também é um caso particular, o que segue de (11.10).

No restante desta seção, assumimos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é um espaço de probabilidade fixado.

Definição 11.43.

Dadas duas variáveis aleatórias estendidas $X$ e $Y$ tais que $X$ é integrável ou não-negativa, definimos a esperança condicional de $X$ dada $Y$ por

\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X|\sigma(Y)],

ou seja, é a esperança condicional dada a $\sigma$ -álgebra gerada por $Y$ .

Teorema 11.44 (Propriedades da esperança condicional).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias integráveis, $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra e $a,b,c\in\mathbb{R}$ . Então:

(1)

$\mathbb{E}[c|\mathcal{G}]=c$ q.c.
(2)

Se $X\leqslant Y$ q.c., então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\leqslant\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]$ q.c.
(3)

$\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{G}]=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y|% \mathcal{G}]$ q.c.

Essas propriedades também valem para variáveis aleatórias estendidas não-negativas $X$ e $Y$ com constantes $a,b,c\in[0,+\infty]$ .

Demonstração.

Para o item (1), observe que a variável constante $X(\omega)=c$ é $\mathcal{G}$ -mensurável e $\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}c\,\mathrm{d}\mathbb{P}$ para todo $A\in\mathcal{G}$ .

Para o item (3), observe que

$\displaystyle\int_{A}(aX+bY)\,\mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle=a\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P% }=a\int_{A}\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_{A}\mathbb{E}% [Y\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle=\int_{A}\Big{(}a\,\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y\|% \mathcal{G}]\Big{)}\mathrm{d}\mathbb{P},$

para todo $A\in\mathcal{G}$ , ou seja, $\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{G}]=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y|% \mathcal{G}]$ q.c.

Para provar o item (2), suponha que $X\leqslant Y$ q.c. Neste caso, podemos escrever $Y=X+Z$ q.c., onde $Z$ é não-negativa. Pelo Exercício 5.65, $\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]$ é não-negativa q.c., e, pelo item (3), $\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]% \geqslant\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c., concluindo a prova. ∎

O teorema seguinte nos diz que, se o valor de uma variável aleatória estendida é determinado pela informação codificada pela $\sigma$ -álgebra em questão, então ela sai da esperança condicional como se fosse uma constante. O Teorema 11.8 é um caso particular.

Teorema 11.45.

Se $Y$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, $\mathbb{E}|X|<\infty$ e $\mathbb{E}|XY|<\infty$ , então

\mathbb{E}[XY\big{|}\mathcal{G}]=Y\cdot\mathbb{E}[X\big{|}\mathcal{G}]\text{ q% .c.}

O mesmo vale se $X$ e $Y$ são não-negativas.

Demonstração.

Consideramos primeiro o caso em que $X$ e $Y$ são não-negativas. Seja $A\in\mathcal{G}$ . Tomando $Y_{0}=\mathds{1}_{B}$ para algum $B\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}XY_{0}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A\cap B}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=% \int_{A\cap B}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y_{0}% \cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Por linearidade, se $Y_{n}$ é uma variável aleatória simples $\mathcal{G}$ -mensurável, vale

\int_{A}XY_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y_{n}\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G% }]\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Tomando $0\leqslant Y_{n}\uparrow Y$ , pelo Teorema da Convergência Monótona, obtemos

\int_{A}XY\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,% \mathrm{d}\mathbb{P},

o que conclui a prova já que $Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ é $\mathcal{G}$ -mensurável.

Consideramos agora o caso em que $X$ e $XY$ são integráveis. Queremos mostrar que vale a identidade acima para todo $A\in\mathcal{G}$ . Escrevendo $X=X^{+}-X^{-}$ e $Y=Y^{+}-Y^{-}$ e observando que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X^{+}|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X^{-}|% \mathcal{G}]$ , é suficiente mostrar que

\int_{A}X^{\pm}Y^{\pm}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y^{\pm}\cdot\mathbb{E}[X^% {\pm}|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P},

mas isso segue diretamente do caso anterior. ∎

O teorema seguinte generaliza o Teorema 11.11.

Teorema 11.46 (Esperança condicional iterada).

Seja $\mathcal{H}$ uma $\sigma$ -álgebra tal que $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ , e $X$ uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa. Então, valem as seguintes identidades:

(1)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]\big{|}\mathcal{G}\right]=\mathbb{E}% \left[X\big{|}\mathcal{H}\right]$ q.c.
(2)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}\mathcal{H}\right]=\mathbb{E}% \left[X\big{|}\mathcal{H}\right]$ q.c.

Uma interpretação visual do teorema acima no caso de $\sigma$ -álgebras geradas por finitos eventos é dada na Figura 11.2.

Demonstração.

Para clarificar, escrevemos $Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ e $Z=\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]$ . Para a primeira igualdade, basta observar que $Z$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, donde $\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]=Z$ q.c. Provemos agora a segunda igualdade. Seja $A\in\mathcal{H}$ . Pela definição de $Z$ , temos $\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}.$ Por outro lado, como $A\in\mathcal{G}$ , pela definição de $Y$ , temos $\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P}.$ Como $Z$ é $\mathcal{H}$ -mensurável e $\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P}$ para todo $A\in\mathcal{H}$ , concluímos que $Z=\mathbb{E}[Y|\mathcal{H}]$ q.c. ∎

Definição 11.47.

Dizemos que uma variável aleatória estendida $X$ é independente da $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ se $\{X\leqslant a\}$ e $A$ são independentes para todos $a\in\mathbb{R}$ e $A\in\mathcal{G}$ .

Proposição 11.48.

Se $X$ é é uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa, e $X$ é independente de $\mathcal{G}$ , então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}X$ q.c.

Demonstração.

Pela independência de $X$ e $\mathcal{G}$ , temos, para todo $A\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A}]=\mathbb{E}X\cdot% \mathbb{E}[\mathds{1}_{A}]=\int_{A}(\mathbb{E}X)\,\mathrm{d}\mathbb{P}

e, sendo constante, $\mathbb{E}X$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, o que conclui a prova. ∎

Os teoremas de convergência da integral, vistos na Seção 5.5, também têm seus análogos no contexto de esperança condicional. Nos três teoremas abaixo, $(X_{n})_{n}$ , $X$ e $Y$ denotam variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade.

Teorema 11.49 (Convergência Monótona).

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias estendidas não-negativas tais que $0\leqslant X_{n}\uparrow X$ q.c. Seja $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra. Então, $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\to\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c.

Demonstração.

Tome $Y=\limsup_{n}\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]$ , que é $\mathcal{G}$ -mensurável. Como $0\leqslant\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\leqslant\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}]$ q.c., segue que $0\leqslant\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\uparrow Y$ q.c. Para $A\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}X_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\,% \mathrm{d}\mathbb{P}

e, aplicando o Teorema da Convergência Monótona em ambos os lados,

\int_{A}X\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\mathrm{d}\mathbb{P},

donde $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=Y$ q.c. ∎

Teorema 11.50 (Lema de Fatou).

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias estendidas não-negativas e uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Então, $\mathbb{E}[\liminf_{n}X_{n}|\mathcal{G}]\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}[X_{n}|% \mathcal{G}]$ q.c.

A demonstração é análoga à do Teorema 5.71, trocando-se $\int_{\Omega}\cdot\,\mathrm{d}\mu$ por $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ .

Teorema 11.51 (Convergência Dominada).

Sejam $(X_{n})_{n}$ , $X$ e $Y$ variáveis aleatórias estendidas e uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Se $X_{n}\to X$ q.c. e $|X_{n}|<Y$ q.c. para alguma $Y$ integrável, então $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\to\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c.

A demonstração é análoga à do Teorema 5.72, trocando-se $\int_{\Omega}\cdot\,\mathrm{d}\mu$ por $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ .

Teorema 11.52 (Desigualdade de Jensen).

Sejam $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra, $I$ um intervalo aberto, $g:I\to\mathbb{R}$ uma função convexa, e $X$ uma variável aleatória que assume valores em $I$ . Suponha que $X$ e $g(X)$ sejam integráveis. Então,

g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])\leqslant\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}].

Demonstração.

A prova é análoga à demonstração do Teorema 6.23, porém há que se contornar algumas complicações técnicas. Para cada $z\in I$ fixo, existe $c=c(z)\in\mathbb{R}$ tal que $g(x)\geqslant g(z)+c(z)\cdot(x-z)$ para todo $x\in I$ . Como a função que leva $z$ em $c(z)$ é não-decrescente, também é mensurável.

Suponhamos inicialmente que essa função $c$ seja limitada. Tomando $Z=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ , e observando que $Z$ e $g(Z)$ são $\mathcal{G}$ -mensuráveis, pelo Teorema 11.45

$\displaystyle\mathbb{E}[g(X)\|\mathcal{G}]$	$\displaystyle\geqslant\mathbb{E}\big{[}g(Z)+c(Z)\cdot(X-Z)\big{\|}\mathcal{G}% \big{]}=$
	$\displaystyle\qquad=g(Z)+c(Z)\cdot\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]-c(Z)\cdot Z=g(Z),$

onde a primeira igualdade acima é devida ao Teorema 11.45.

Consideremos agora o caso geral. Somando uma constante a $X$ , podemos supor que $0\in I$ . Subtraindo $c(0)\cdot x$ , podemos supor que $g(x)\geqslant 0$ para todo $x\in I$ . Tome $[a_{n},b_{n}]\uparrow I$ com $a_{n}<0<b_{n}$ . Para cada $n$ fixo, definimos $g_{n}(x)=g(x)$ para $x\in[a_{n},b_{n}]$ , $g_{n}(x)=g(b_{n})+c(b_{n})\cdot(x-b_{n})$ para $x\geqslant b_{n}$ e $g_{n}(x)=g(a_{n})+c(a_{n})\cdot(x-a_{n})$ para $x\leqslant a_{n}$ . Observe que as funções $g_{n}$ são convexas, não-negativas, e satisfazem $g_{n}\uparrow g$ . Ademais, suas respectivas $c_{n}$ são limitadas a $[c(a_{n}),c(b_{n})]$ , donde $\mathbb{E}[g_{n}(X)|\mathcal{G}]\geqslant g_{n}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ . Como $g_{n}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])\uparrow g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ , pelo Teorema da Convergência Monótona, $\mathbb{E}[g_{n}(X)|\mathcal{G}]\uparrow\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}]$ , concluímos que $\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}]\geqslant g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ . ∎

Teorema 11.53 (Contração em

\mathcal{L}^{p}

Se $p\geqslant 1$ e $|X|^{p}$ é integrável, então

\mathbb{E}\big{[}\,\big{|}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}^{p}\,\big{]}% \leqslant\mathbb{E}\big{[}\,|X|^{p}\,\big{]}.

Demonstração.

Primeiro, $X$ é integrável pois $|x|\leqslant 1+|x|^{p}$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Pela desigualdade de Jensen, $\big{|}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}^{p}\leqslant\mathbb{E}\big{[}|X|^{p}% \big{|}\mathcal{G}\big{]}$ , pois $g(x)=|x|^{p}$ é convexa. Tomando esperança iterada, segue a desigualdade desejada. ∎

11.4 Esperança condicional dada uma σ\sigma-álgebra

11.4 Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra