11.3 Densidade condicional

Dadas duas variáveis aleatórias simples $X$ e $Y$ , na seção anterior definimos a variável aleatória $\mathbb{E}[X\,|\,Y],$ que assume o valor $\mathbb{E}[X\,|\,Y=y]$ no evento $\{Y(\omega)=y\}$ . Naquele contexto, o valor $\mathbb{E}[X\,|\,Y=y]$ para $y$ tal que $\mathbb{P}(Y=y)>0$ pode ser calculado a partir da distribuição condicional

(11.25) (11.25)

\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)=\mathbb{P}(X\in B\,|\,Y=y)=\frac{\mathbb{P}(X\in B,Y=y)}% {\mathbb{P}(Y=y)},

como feito nas Seções 3.4 e 5.4. Entretanto, quando $Y$ é uma variável aleatória contínua, a fórmula (11.25) resulta na forma indeterminada $\frac{0}{0}$ . Gostaríamos de poder definir $\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)$ de forma tal que permita recuperar as propriedades vistas na seção anterior.

Nesta seção, consideraremos o caso em que $X$ e $Y$ têm densidade conjunta. Faremos uma apresentação informal, buscando motivar as definições e propriedades mais importantes. Uma justificativa rigorosa das propriedades aqui enunciadas será dada na Seção 11.6.

Por analogia a (11.14), definimos a densidade condicional de $X$ dado $Y$ por

(11.26) (11.26)

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}

para todo $y$ tal que $f_{Y}(y)>0$ . Para os pontos $y$ onde $f_{Y}(y)=0$ , definimos, por convenção $f_{X|Y}(x|y)=f_{X}(x)$ .

Observe-se que, se multiplicamos a equação acima por $\Delta x$ , obtemos

$\displaystyle f_{X\|Y}(x\|y)\,\Delta x$	$\displaystyle=\frac{f_{X,Y}(x,y)\Delta x\Delta y}{f_{Y}(y)\Delta y}\approx% \frac{\mathbb{P}(x\leqslant X\leqslant x+\Delta x,y\leqslant Y\leqslant y+% \Delta y)}{\mathbb{P}(y\leqslant Y\leqslant y+\Delta y)}$
	$\displaystyle=\mathbb{P}(x\leqslant X\leqslant x+\Delta x\|y\leqslant Y% \leqslant y+\Delta y).$

Ou seja, coerentemente com a ideia de que $f_{X}(x)\,\Delta x$ representa a probabilidade de $X$ estar em $[x,x+\Delta x]$ , aqui $f_{X|Y}(x|y)\,\Delta x$ representa a probabilidade condicional de tal evento dado que $Y$ está em $[y,y+\Delta y]$ .

A densidade condicional de $X$ dado $Y$ define uma distribuição parametrizada por $y$ , que chamamos distribuição condicional de $X$ dado $Y$ , dada por

(11.27) (11.27)

\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)=\int_{B}f_{X|Y}(x|y)\,\mathrm{d}x

para todo intervalo $B\subseteq\mathbb{R}$ . Repare na semelhança com (11.19).

Assim como vimos no caso discreto, a distribuição conjunta de $X$ e $Y$ , ou de $X$ isoladamente, pode ser calculada a partir dessa distribuição condicional, tomando-se a média sobre $y$ , isto é,

(11.28) (11.28)

\mathbb{P}(X\in B,Y\in C)=\int_{C}\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y,

para todos os intervalos $B$ e $C$ , veja a semelhança com (11.21).

Observe que logramos obter expressões úteis envolvendo probabilidades condicionais, apesar de estarmos condicionando em um evento de medida zero. Essas expressões justificam-se pela expansão

(11.29) (11.29)

\iint_{B\times C}f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{C}\Big{(}\int_{B}% \tfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}\mathrm{d}x\Big{)}f_{Y}(y)\mathrm{d}y.

Exemplo 11.30.

Sejam $X$ e $Y$ com densidade conjunta

f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}6xy(2-x-y),&0<x<1,0<y<1,\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

Vamos determinar a densidade condicional de $X$ dado $Y$ . Primeiramente,

f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}6xy(2-x-y% )\mathrm{d}x=4y-3y^{2}

se $y\in(0,1)$ e $0$ caso contrário. Para $y\in[0,1]$ , calculamos

f_{X|Y}(x\,|\,y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}=\frac{6x(2-x-y)}{4-3y}\mathds{1% }_{[0,1]}(x)

Para $y\not\in[0,1]$ , tomamos, por exemplo, $f_{X|Y}(x\,|\,y)=6x(1-x)\mathds{1}_{[0,1]}(x)$ . ∎

Exemplo 11.31.

Sejam $X$ e $Y$ com densidade conjunta

f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{2}ye^{-xy},&0<x<\infty\text{ \ e \ }0<y<2,% \\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

Vamos determinar a densidade condicional de $X$ dado $Y$ . Temos

f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{% \infty}ye^{-xy}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}

para $0<y<2$ . Logo $Y\sim\mathcal{U}[0,2]$ . Assim, para $y\in(0,2)$ temos

f_{X|Y}(x\,|\,y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}=\begin{cases}ye^{-xy},&x>0,\\ 0,&x\leqslant 0.\end{cases}\qed

Uma situação muito comum na prática é quando são especificadas $f_{Y}$ e $f_{X|Y}$ . Neste caso, podemos estudar a variável $X$ a partir de $Y$ e da informação sobre como esta influencia aquela. Mais precisamente, podemos usar

f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x|y)\,f_{Y}(y)

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y.

Exemplo 11.32.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias tais que $Y\sim\mathcal{U}[0,2]$ e, condicionado a que $Y=y$ , $X$ tem distribuição uniforme em $[0,y]$ . Isto é,

f_{X|Y}(x\,|\,y)=\begin{cases}\frac{1}{y},&0<x<y<2,\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

Sendo assim, podemos calcular as densidades conjunta e marginal utilizando as fórmulas acima, obtendo

f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x|y)\,f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{2y},&0<x<y<2,\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y=\int_{x}^{2% }\frac{1}{2y}\,\frac{1}{2}\,\mathrm{d}y=-\frac{1}{2}\log\frac{x}{2}

para $x\in(0,2]$ e zero caso contrário. ∎

Exemplo 11.33.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias, onde $Y\sim\mathop{\mathrm{Gama}}\nolimits(2,\lambda)$ e, condicionado que $Y=y$ , $X$ tem distribuição $\mathcal{U}[0,y]$ . Isto é, a densidade condicional $f_{X|Y}$ é especificada e vale $\tfrac{1}{y}\mathds{1}_{[0,y]}(x)$ . Sendo assim, podemos determinar a densidade de $X$ como

$\displaystyle f_{X}(x)$	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\|Y}(x\|y)f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y=% \mathds{1}_{[0,+\infty)}(x)\int_{x}^{+\infty}\tfrac{1}{y}\lambda^{2}ye^{-% \lambda y}\,\mathrm{d}y$
	$\displaystyle=\lambda e^{-\lambda x}\mathds{1}_{[0,+\infty)}(x).$

Isto é, $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ . ∎

A partir da distribuição condicional de $X$ dado $Y$ , podemos calcular a esperança condicional de $X$ dado $Y$ . Por analogia a (11.15), definimos

(11.34) (11.34)

\mathbb{E}[X|Y=y]=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_{X|Y}(x|y)\,\mathrm{d}x.

Exemplo 11.35.

Se $X$ e $Y$ são as variáveis do Exemplo 11.32, podemos calcular

\mathbb{E}[X|Y=y]=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_{X|Y}(x|y)\,\mathrm{d}x=% \int_{0}^{y}\frac{x}{y}\,\mathrm{d}x=\frac{y}{2},

o que já era de se esperar dado que, condicionado ao evento $\{Y=y\}$ , a variável $X$ tem distribuição uniforme em $[0,y]$ . ∎

Como na seção anterior, definimos $\mathbb{E}[X|Y]$ como a variável aleatória que toma valor $\mathbb{E}[X|Y=y]$ no evento $\{Y=y\}$ . Observe que $\mathbb{E}[X|Y]$ é uma variável aleatória que pode ser expressa como uma função de $Y$ .

Exemplo 11.36.

No Exemplo 11.31, calculemos $\mathbb{E}\left[X^{2}\big{|}Y\right]$ e $\mathbb{E}\left[X^{2}\big{|}Y=1\right]$ .

Considerando a densidade condicional já calculada no Exemplo 11.31, temos

\mathbb{E}[X^{2}\big{|}Y=y]=\int_{0}^{+\infty}x^{2}ye^{-xy}\mathrm{d}x=\frac{2% }{y}\int_{0}^{+\infty}e^{-yx}\mathrm{d}x=\frac{2}{y^{2}}.

Logo,

\mathbb{E}\big{[}X^{2}\big{|}Y\big{]}=\frac{2}{Y^{2}}\quad\text{ e }\quad% \mathbb{E}\big{[}X^{2}\big{|}Y=1\big{]}=2.\qed

Como no Teorema 11.5, vale a propriedade da esperança iterada:

(11.37) (11.37)

\mathbb{E}X=\mathbb{E}\big{[}\mathbb{E}[X|Y]\big{]}.

No contexto da seção anterior, esta fórmula toma a forma

\mathbb{E}X=\sum_{y}\mathbb{E}[X|Y=y]\,p_{Y}(y),

enquanto que, no contexto desta seção, temos

\mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbb{E}[X|Y=y]\,f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y.

Exemplo 11.38.

Continuando os Exemplos 11.32 e 11.35,

\mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbb{E}[X|Y=y]\,f_{Y}(y)\,\mathrm{d}y=% \int_{0}^{2}\frac{y}{2}\,\frac{1}{2}\,\mathrm{d}y=\frac{1}{2}.\qed