SAGA

Introdução à Otimização Riemanniana

Resumo: Motivados por um problema de Aprendizado de Máquina, introduziremos o algoritmo do gradiente descendente Riemanniano. Exploraremos diversas questões acerca da convergência da sequência gerada por este algoritmo, incluindo a convergência fraca, a convergência forte e a convergência para um mínimo local. Trata-se de uma palestra voltada a um público matemático amplo, pressupondo apenas conhecimentos prévios em Geometria Diferencial em nível de graduação.

Extremal surfaces for the first Dirichlet eigenvalue of the Laplacian

Abstract: While many works have investigated extremal domains for the first Dirichlet eigenvalue of the Laplacian, in this talk I will examine the corresponding problem for hypersurfaces, where one varies the immersion rather than the domain inside a fixed ambient manifold. I will present the Euler–Lagrange equation for this variational problem, which links the first eigenfunction to the second fundamental form and leads to both an interior condition and an overdetermined boundary condition. In the minimal and CMC cases, these equations become particularly rigid and impose strong geometric restrictions. As an application, we show that among compact CMC surfaces in the unit ball, the only extremal examples are totally geodesic discs. The proof combines variational analysis and a Hopf differential argument.

Superfícies de Delaunay, geometria e EDOs

Resumo: Apresentamos as superfícies de Delaunay, que são as superfícies de revolução com curvatura média constante. Discutimos a construção clássica via roletas de cônicas, a formulação como sistema de EDOs e a classificação das soluções (undulóides, nodóides, cilindros e esferas).

O Problema de Yamabe I: da Curvatura à Geometria Conforme

Abstract: Nesta primeira palestra da série sobre o Problema de Yamabe, apresento uma introdução autocontida partindo das definições de curvatura Riemanniana e derivando a equação de Yamabe em detalhe via mudança conforme da curvatura escalar. Palestras complementares abordarão a resolução histórica e conexões com problemas de prescrição de curvatura de ordem superior.

É possível ouvir o formato de um tambor? Introdução aos problemas da Geometria Espectral

Resumo: Partindo da célebre pergunta de Mark Kac (1966) — é possível ouvir o formato de um tambor? — introduzimos o problema de autovalores do operador de Laplace–Beltrami e deduzimos a equação que os governa, motivando os problemas centrais da Geometria Espectral.