14.1 Transformações que preservam medida

Nesta seção, introduzimos conceitos básicos que serão usados no restante deste capítulo, e apresentaremos o Teorema de Recorrência de Poincaré.

Definição 14.1 (Sequência aleatória e operador deslocamento).

No espaço das sequências de números reais, definimos o operador deslocamento $\theta:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , dado por $\theta(x_{1},x_{2},x_{3}\dots)=(x_{2},x_{3},x_{4}\dots)$ . Se ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ é uma sequência aleatória, $\theta{\boldsymbol{X}}$ é a sequência deslocada $\theta{\boldsymbol{X}}=(X_{2},X_{3},\dots)$ .

Definição 14.2 (Sequência estacionária).

A sequência ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ é dita estacionária se $\theta{\boldsymbol{X}}\sim{\boldsymbol{X}}$ . Isto é, ${{\boldsymbol{X}}}$ é estacionária se

\mathbb{P}({\boldsymbol{X}}\in B)=\mathbb{P}(\theta{\boldsymbol{X}}\in B)

para todo $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ , onde a $\sigma$ -álgebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ foi definida na Seção 13.1.

Vejamos alguns exemplos de sequências estacionárias, com algumas observações preliminares sobre o comportamento de sua média observada.

Exemplo 14.3.

Toda sequência $(X_{n})_{n}$ i.i.d. é estacionária. Se $X_{1}$ é integrável, pela Lei Forte dos Grandes Números, $n^{-1}(X_{1}+\dots+X_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}$ , ou seja, a média observada converge a um valor determinístico. ∎

Exemplo 14.4 (Sequência estacionária com correlações não-nulas).

Sejam $(Z_{n})_{n}$ variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathcal{U}[-1,1]$ e $Y\sim\mathcal{U}[-1,1]$ independente de $(Z_{n})_{n}$ . Defina $X_{n}=Z_{n}+Y$ . Essa sequência é estacionária, mas $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X_{j},X_{k})=\frac{1}{3}$ para todos $j,k\in\mathbb{N}$ distintos. Este é um exemplo de sequência que tem “muita memória”. Veja que $n^{-1}(X_{1}+\dots+X_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}Y$ , ou seja, o limite é aleatório. ∎

Exemplo 14.5 (Sequência estacionária com correlações não-nulas).

Defina ${{\boldsymbol{X}}}$ de forma que ${{\boldsymbol{X}}}=(0,1,0,1,0,1,\dots)$ e ${{\boldsymbol{X}}}=(1,0,1,0,1,0,\dots)$ com probabilidade $\frac{1}{2}$ cada. Essa sequência é estacionária, mas $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X_{j},X_{k})=\frac{1}{4}(-1)^{k-j}$ para todos $j,k\in\mathbb{N}$ . Veja que, apesar de essa sequência ter “muita memória”, $n^{-1}(X_{1}+\dots+X_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\frac{1}{2}=% \mathbb{E}X_{1}$ , que é determinístico. ∎

Observação 14.6.

Uma forma de produzir várias sequências estacionárias (ou de verificar que uma dada sequência é estacionária) é a seguinte. Dada uma sequência estacionária ${{\boldsymbol{X}}}$ e uma função mensurável $f:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tal que $\theta\circ f=f\circ\theta$ , a sequência aleatória $f({{\boldsymbol{X}}})$ é estacionária. Por exemplo, se $(X_{n})_{n}$ é estacionária, então a sequência $(Z_{n})_{n}$ dada por $Z_{n}=X_{n+1}+X_{n+2}^{2}X_{n+3}$ é estacionária. ∎

O estudo de sequências estacionárias pode servir-se da Teoria Ergódica a partir da conexão que agora passamos a descrever.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade que modela um certo experimento aleatório. Seja ${{\boldsymbol{X}}}$ uma sequência de variáveis aleatórias que são observadas ao longo desse experimento. Podemos ver ${{\boldsymbol{X}}}$ como uma função definida em $\Omega$ , que toma valores no espaço $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , mensurável com respeito às $\sigma$ -álgebras $\mathcal{F}$ em $\Omega$ e $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ em $E$ . (Alguns livros dizem que ${{\boldsymbol{X}}}$ nada mais é do que uma variável aleatória que toma valores em $E$ em vez de $\mathbb{R}$ , mas é mais comum dizer que ${{\boldsymbol{X}}}$ é um “elemento aleatório” e reservar o termo “variável aleatória” para o caso em que tomam-se valores em $\mathbb{R}$ .)

Voltemos a falar de ${{\boldsymbol{X}}}$ . Definindo a medida $\mu=\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}$ em $(E,\mathcal{E})$ , temos que $(E,\mathcal{E},\mu)$ é um espaço de probabilidade. Chamemos de $T$ o operador de deslocamento $\theta$ nesse espaço. Observe que $T:E\to E$ é um operador $\mathcal{E}$ -mensurável. Além disso, ${{\boldsymbol{X}}}$ é uma sequência estacionária se, e somente se, $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ para todo $A\in\mathcal{E}$ .

Neste capítulo, vamos estudar operadores determinísticos $T$ definidos em espaços de probabilidade $(E,\mathcal{E},\mu)$ , sem perder de vista que tudo o que fizermos com essa notação e terminologia terá suas consequências no estudo de sequências de variáveis aleatórias.

Definição 14.7 (Transformação que preserva medida).

Dado um espaço de probabilidade $(E,\mathcal{E},\mu)$ e um operador mensurável $T:{E}\to{E}$ , dizemos que $T$ é uma transformação que preserva medida se $T_{*}\mu=\mu$ , isto é, $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ para todo $A\in\mathcal{E}$ .

Exemplo 14.8.

Sejam $E=\{1,\dots,n\}$ , $\mathcal{E}=\mathcal{P}({E})$ e $\mu(A)=\frac{\#A}{n}$ , então toda bijeção $T:{E}\to{E}$ é uma transformação que preserva medida. ∎

Observamos que, se $T$ preserva a medida $\mu$ , então, fazendo uma mudança de variáveis, obtemos

\int_{E}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{E}(f\circ T)\,\mathrm{d}\mu

para toda $f:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável.

A proposição abaixo segue do Teorema 3.37 (unicidade de medidas).

Proposição 14.9.

Sejam $(E,\mathcal{E},\mu)$ um espaço de probabilidade e $T:{E}\to{E}$ um operador mensurável. Se $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ para todo $A$ em algum $\pi$ -sistema que gera $\mathcal{E}$ , então $T$ é uma transformação que preserva medida.

Exemplo 14.10 (Rotação do círculo).

Sejam ${E}=[0,1)$ , $\mathcal{E}=\mathcal{B}([0,1))$ e $\mu$ a medida de Lebesgue em $[0,1)$ . Dado $\lambda\in E$ , defina $T({x})={x}+\lambda-\lfloor{x}+\lambda\rfloor\in E$ . Se interpretamos o espaço $E$ como sendo um círculo (“colando” os extremos do intervalo), essa transformação é equivalente a uma rotação de $2\pi\lambda$ radianos. Observe que $\mu(T^{-1}[a,b))=\mu([a,b))$ para todo $[a,b)\subseteq[0,1)$ . Pela Proposição 14.9, podemos concluir que $T$ preserva medida. ∎

Exemplo 14.11.

Sejam ${E}=[0,1)$ , $\mathcal{E}=\mathcal{B}([0,1))$ e $\mu$ a medida de Lebesgue em $[0,1)$ . Fixe $n\in\mathbb{N}$ , e defina $S({x})=n{x}-\lfloor n{x}\rfloor\in E$ . Novamente, $\mu(S^{-1}[a,b))=\mu([a,b))$ para todo $[a,b)\subseteq[0,1)$ . Pela Proposição 14.9, podemos concluir que $S$ é uma transformação que preserva medida. ∎

Em geral, estaremos interessados em estudar o comportamento da trajetória definida através de iterações sucessivas de uma transformação que preserva medida a partir de um ponto do espaço $E$ . De modo mais preciso, dados ${x}\in{E}$ e $T$ uma transformação que preserva medida, definimos a órbita de ${x}$ como a sequência $({x},T({x}),T^{2}({x}),\dots)$ . O teorema a seguir nos diz que, dado qualquer conjunto $A\in\mathcal{E}$ , a órbita de quase todo ponto de $A$ deve regressar ao conjunto $A$ infinitas vezes.

Teorema 14.12 (Teorema de Recorrência de Poincaré).

Sejam $({E},\mathcal{E},\mu)$ um espaço de probabilidade e $T:{E}\to{E}$ uma transformação que preserva medida. Dado $A\in\mathcal{E}$ , tomando $A^{\prime}=\{{x}\in A:T^{n}({x})\in A\ \text{i.v.}\}$ , temos $\mu(A\setminus A^{\prime})=0$ .

Demonstração.

Para cada $n\in\mathbb{N}$ , seja

C_{n}=\{{x}\in A:T^{k}({x})\notin A,\ \forall k\geqslant n\}.

Nesse caso, podemos escrever $A^{\prime}=A\setminus\cup_{n=1}^{\infty}C_{n}$ . Como

C_{n}=A\setminus\cup_{k=n}^{\infty}T^{-k}(A)

e $T$ é mensurável, $C_{n}\in\mathcal{E}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e, por conseguinte, $A^{\prime}\in\mathcal{E}$ . Logo, basta mostrar que $\mu(C_{n})=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Como $\mu$ é uma medida finita e $T$ preserva a medida $\mu$ ,

$\displaystyle\mu(C_{n})$	$\displaystyle=\mu(A\setminus\cup_{k=n}^{\infty}T^{-k}(A))$
	$\displaystyle\leqslant\mu\big{(}\big{(}\cup_{k=0}^{\infty}T^{-k}(A)\big{)}% \setminus\cup_{k=n}^{\infty}T^{-k}(A)\big{)}$
	$\displaystyle=\mu(\cup_{k=0}^{\infty}T^{-k}(A))-\mu(\cup_{k=n}^{\infty}T^{-k}(% A))$
	$\displaystyle=\mu(\cup_{k=0}^{\infty}T^{-k}(A))-\mu(T^{-n}(\cup_{k=0}^{\infty}% T^{-k}(A)))$
	$\displaystyle=\mu(\cup_{k=0}^{\infty}T^{-k}(A))-\mu(\cup_{k=0}^{\infty}T^{-k}(% A))=0,$

concluindo a prova. ∎

Observe que o fato de $\mu$ ser uma medida finita foi crucial nessa demonstração, pois, nesse caso, $\mu(B\setminus D)=\mu(B)-\mu(D)$ sempre que $D\subseteq B$ . Intuitivamente, como o espaço $E$ tem medida finita, as órbitas que começam em $A$ não têm para onde fugir, restando-lhes apenas a alternativa de retornar ao conjunto $A$ . Como contra-exemplo, considere $(\mathbb{R},\mathcal{B},m)$ , $T(x)=x+2$ , $A=[0,1]$ . Veja que $T$ é uma translação, logo preserva a medida de Lebesgue, mas a órbita de todo ponto do intervalo $[0,1]$ foge para a direita sem nunca retornar.

Em termos de sequências estacionárias, o Teorema de Recorrência de Poincaré diz que, se uma dada condição é observada em alguma região de índices de um processo estocástico estacionário, então essa mesma condição será cumprida em infinitas outras regiões de índices.