RE: Duvidas - lista 10

[Paulo Feofiloff <pf@ime.usp.br>]

Graziela writes:

 > no exercicio E temos que provar o seguinte
 > "Um vetor x em X(A,b) nao eh um vertice se e so se
 > existe um vetor u nao-nulo tal que x+u e x-u estao
 > ambos em X(A,b)."
 > 
 > (<=) Suponha que nao existe u 

Êpa. Você deveria mostrar que SE EXISTE u então x não é vértice.

 > nao nulo tal que x+u 
 > e x-u estao em X(A,b). Seja x um vetor

Alguma coisa está estranha. É tarde para dizer "seja x",
pois x já está definido. Você até já falou dele na sentença 
anterior.

 > em X(A,b) que nao eh vertice. Seja u' um vetor nao-nulo.
 > 
 > Seja x+u'

Não faz sentido dizer "seja x+u'" pois x e u' JÁ ESTÃO DEFINIDOS!

 > um vetor tal que
 > 1. x+u' esta em X(A,b) pois
 >    * A(x+u') = Ax + Au' = b + 0 = b
 >      ( posso assumir que Au'=0 ???????)
 >    * x+u' >=0 (esta nao sabemos como provar ?????????)
 > 
 > Seja x-u' um vetor tal que
 > 2. x-u' esta em X(A,b) pois
 >    * A(x-u') = Ax - Au' = b + 0 = b
 >      ( posso assumir que Au'=0 ???????)
 >    * x-u' >=0 (esta nao sabemos como provar ?????????)
 > 
 > Contradicao, pois supomos que nao existia vetor u nao-nulo 
 > tal que x+u e x-u estao em X(A,b).

Não entendi. Sugiro tentar de novo.
Você precisa provar que se x está em X(A,b) e u
é um vetor não-nulo tal que x+u e x-u estão em X(A,b)
então x não é vértice.


 > (=>) Suponha que x eh vertice. 

Êpa. A hipótese correta é "x eswtá em X(A,b) mas não é vérrtice".

 > Seja u um vetor nao nulo tal 
 > que x+u e x-u estao em X(A,b). Suponha que possamos escrever
 > x como combinacao de x+u e x-u,

Aqui não é preciso supor nada: é evidente que x é combinação convexa 
de x+u e x-u, pois (x+u)/2 + (x-u)/2 = x.

 > logo
 >   x = alpha (x+u) + beta (x-u),
 > 
 > portanto, o suporte de x nao eh li

Por que?

 > e portanto x nao eh vertice.
 > 
 > Contradicao. Logo x eh vertice.

Sugiro tentar de novo.

--Paulo