Gabarito da lista 01 de execicios

[Paulo Feofiloff <pf@ime.usp.br>]

Eis o gabarito da lista 03 de exercícios (entregue em 2/4/2001):


EX1. [1.4, p.11 das notas de aula] [vale 2 pontos]
Suponha que AB = I e BC = I.  Mostre que B é inversa direita de C.


SOLUÇÃO 1:    CB = I(CB)
                 = (AB)(CB)
                 = A(BC)B 
                 = AIB 
                 = AB 
                 = I

SOLUÇÃO 2: A é inversa esquerda e C é inversa direita de B.  Nessas 
condições temos necessariamente A = C, como já mostramos no texto.  
Portanto,

             CB = AB  = I

COMENTÁRIO: Apesar de AB=I e BC=I, não é necessariamente verdade 
que AB=BC.  Se A é indexada por MxN e B é indexada por NxM e 
C é indexada por MxN, então AB será indexada por MxM enquanto 
BC será indexada por NxN.


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EX2. [1.5, p.11 das notas de aula] [vale 2 pontos]
Encontre uma matriz de bijeção J tal que AJ = B.  Encontre uma matriz 
de bijeção K tal que KA = C.

        a  b  c  d  e              b  c  a  f  h   
                                                   
       11 12 13 14 15  f          11 12 13 14 15  f
  A =  21 22 23 24 25  g     B =  21 22 23 24 25  g
       31 32 33 34 35  k          31 32 33 34 35  k


        a  b  c  d  e

       11 12 13 14 15  g
  C =  21 22 23 24 25  k
       31 32 33 34 35  i


SOLUÇÃO:


        b c a f h        a b c f h   
                                         
        1 0 0 0 0  a     0 1 0 0 0  a 
        0 1 0 0 0  b     0 0 1 0 0  b
   J =  0 0 1 0 0  c  =  1 0 0 0 0  c 
        0 0 0 1 0  d     0 0 0 1 0  d
        0 0 0 0 1  e     0 0 0 0 1  e


        f g k   
                
        1 0 0  g
   K =  0 1 0  k
        0 0 1  i


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EX3. [1.7, p.11 das notas de aula] [vale 2 pontos]
Suponha que A é uma matriz de bijeção indexada por MxN e b é um 
vetor arbitrário indexado por M.  Verifique que existe um e um 
só vetor x tal que Ax = b. 

SOLUÇÃO da primeira parte: Vamos mostrar que o vetor Ãb satisfaz a
equação.  De fato,
        
           A(Ãb) = (AÃ)b = Ib = b.

SOLUÇÃO da segunda parte: Vamos mostrar que Ãb é o único vetor x 
que satisfaz a equação.  Suponha, pois, que Ax = b.  Então Ã(Ax) = Ãb,
donde (ÃA)x = Ãb, e portanto x = Ãb.

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--Paulo

P.S. Poucos fizeram o último exercício 4 da lista 01 corretamente
até o fim.  Portanto, esse exercício será repetido como EX1 da 
lista 02.

P.P.S. Vou tentar enviar os exercícios corrigidos pelo correio.
Procurem com o Marcelo Henriques daqui a alguns dias.